Lineare Gleichungen: Steigung, Y-Achsenabschnitt und Änderungsrate
Wie man gerade Linien grafisch darstellt, die Steigung als praktische Änderungsrate interpretiert und parallele oder senkrechte Linien findet.
Die Steigungsschnittpunktform
Das am häufigsten verwendete Format für lineare Gleichungen ist die Steigungs-Achsenabschnitt-Form:
Dabei steht m für die Steigung (Steilheit und Richtung) und b für den y-Achsenabschnitt (den Punkt (0, b), an dem die Linie die vertikale Achse schneidet).
Berechnung der Steigung (Rise Over Run)
Die Steigung misst die vertikale Änderung (Δy) dividiert durch die horizontale Änderung (Δx) zwischen zwei beliebigen Punkten (x&sub1;, y&sub1;) und (x&sub2;, y&sub2;) auf der Linie:
Für ein Taxi wird eine Grundgebühr von 3,50 $ zuzüglich 2,25 $ pro gefahrener Meile berechnet.
• Steigung (m) = 2,25 $/Meile (Änderungsrate)
• Y-Achsenabschnitt (b) = 3,50 $ (Startkosten bei 0 Meilen)
• Gleichung: y = 2,25x + 3,50
Für eine 8-Meilen-Fahrt: y = (2,25 × 8) + 3,50 = 18,00 $ + 3,50 $ = 21,50 $.
Standardform und allgemeine Form (Ax + By = C und Ax + By + C = 0)
Während die Steigungsschnittpunktform ($y = mx + b$) für die grafische Darstellung praktisch ist, werden lineare Gleichungen häufig in der Standardform ($Ax + By = C$) oder der allgemeinen Form ($Ax + By + C = 0$) angetroffen.
Sie können die Steigung direkt aus den Koeffizienten ohne manuelle Algebra mithilfe des Standardverhältnisses ermitteln:
Für 3x − 2y = 8 beträgt die Steigung beispielsweise m = −(3) ÷ (−2) = 1,5, mit y-Achsenabschnitt (0, C/B) = (0, −4).
Parallele vs. senkrechte Linien
• Parallele Linien haben identische Steigungen: m&sub1; = m&sub2;. Sie wahren einen konstanten Abstand und treffen sich nie.
• Senkrechte Linien schneiden sich im rechten Winkel (90°). Ihre Steigungen sind negative Kehrwerte: m&sub1; × m&sub2; = −1 (oder m&sub2; = −1/m&sub1;). Wenn Linie A eine Steigung von 3 hat, hat Linie B eine Steigung von −1/3.