Standardabweichung und Varianz: Messung der Datenstreuung und Glockenkurven
Erfahren Sie, wie die Standardabweichung die Volatilität und Konsistenz zwischen Prüfungsergebnissen, Investitionen und Experimenten quantifiziert.
Warum der Durchschnitt (Mittelwert) nicht ausreicht
Betrachten Sie zwei Investmentfonds, die beide über einen Zeitraum von fünf Jahren eine durchschnittliche jährliche Rendite von 8 % erzielten:
• Jährliche Rendite von Fonds A: 7 %, 8 %, 9 %, 8 %, 8 % (konstant, geringes Risiko)
• Jährliche Rendite von Fonds B: –15 %, 32 %, –8 %, 24 %, 7 % (volatil, wilde Schwankungen)
Beide Fonds verfügen über identische Mittel (8 %), ihre Risikoprofile sind jedoch völlig unterschiedlich. Die Standardabweichung sagt uns, wie eng oder weit die Werte um den Mittelwert streuen.
Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Berechnung
1. Berechnen Sie den Mittelwert (x̄): (4 + 8 + 6 + 5 + 7) ÷ 5 = 6.
2. Abweichungen vom Mittelwert finden:
(4 − 6) = −2 → (−2)² = 4
(8 − 6) = +2 → (+2)² = 4
(6 − 6) = 0 → (0)² = 0
(5 − 6) = −1 → (−1)² = 1
(7 − 6) = +1 → (+1)² = 1
3. Summe der quadrierten Abweichungen: 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10.
4. Stichprobenvarianz (dividieren durch n − 1 = 4): 10 ÷ 4 = 2,5.
5. Standardabweichung (Quadratwurzel): √2,5 &ca. 1,58.
Die empirische Regel (68-95-99,7-Regel)
Für normalverteilte (glockenförmige) Daten:
• 68,2 % aller Datenpunkte liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert (±1σ).
• 95,4 % liegen innerhalb von 2 Standardabweichungen (±2σ).
• 99,7 % liegen innerhalb von 3 Standardabweichungen (±3σ).
Werte über 3 Standardabweichungen sind statistisch gesehen selten und werden typischerweise als Ausreißer klassifiziert.