Écart type et variance : mesure de la répartition des données et des courbes en cloche
Découvrez comment l'écart type quantifie la volatilité et la cohérence des résultats des examens, des investissements et des expériences.
Pourquoi la moyenne (moyenne) ne suffit pas
Prenons l’exemple de deux fonds d’investissement qui ont tous deux produit un rendement annuel moyen de 8 % sur cinq ans :
• Rendements annuels du Fonds A : 7 %, 8 %, 9 %, 8 %, 8 % (cohérent, faible risque)
• Rendements annuels du Fonds B : −15 %, 32 %, −8 %, 24 %, 7 % (volatiles, fluctuations sauvages)
Les deux fonds disposent de moyens identiques (8%), mais leurs profils de risque sont complètement différents. L’écart type nous indique dans quelle mesure les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
Guide de calcul étape par étape
1. Calculez la moyenne (x̄) : (4 + 8 + 6 + 5 + 7) ÷ 5 = 6.
2. Trouver les écarts par rapport à la moyenne :
(4 − 6) = −2 → (−2)² = 4
(8 − 6) = +2 → (+2)² = 4
(6 − 6) = 0 → (0)² = 0
(5 − 6) = −1 → (−1)² = 1
(7 − 6) = +1 → (+1)² = 1
3. Somme des écarts au carré : 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10.
4. Variance de l'échantillon (diviser par n − 1 = 4) : 10 ÷ 4 = 2,5.
5. Écart type (racine carrée) : √2,5 ≈ 1,58.
La règle empirique (règle 68-95-99.7)
Pour les données normalement distribuées (en forme de cloche) :
• 68,2 % de tous les points de données se situent à moins d'un écart type de la moyenne (± 1σ).
• 95,4 % se situent dans deux écarts types (± 2 σ).
• 99,7 % se situent dans 3 écarts types (± 3σ).
Les valeurs supérieures à 3 écarts types sont statistiquement rares et sont généralement classées comme valeurs aberrantes.