Z-Scores, Standard-Scores und Perzentile verstehen
So vergleichen Sie Messungen aus zwei völlig unterschiedlichen Verteilungen mithilfe normalisierter Z-Scores.
Was ist ein Z-Score?
Ein Z-Score (auch Standard-Score genannt) beschreibt die Position eines Roh-Scores im Hinblick auf seinen Abstand vom Mittelwert, gemessen in Standardabweichungseinheiten. Ein Z-Score von 0 entspricht genau dem Mittelwert; Positive Z-Scores liegen über dem Mittelwert und negative Z-Scores liegen unter dem Mittelwert.
Dabei ist x = Rohwert, μ = Populationsmittelwert und σ = Populationsstandardabweichung.
Vergleich von Äpfeln mit Birnen: SAT- vs. ACT-Ergebnisse
Z-Scores ermöglichen einen fairen Vergleich zwischen völlig unterschiedlichen Skalen.
Student A erreichte beim SAT 1400 Punkte. Student B erzielte beim ACT 32 Punkte. Wer hat relativ besser abgeschnitten?
• SAT-Verteilung: Mittelwert μ = 1060, Standardabweichung σ = 210.
Schüler A: z = (1400 − 1060) ÷ 210 = +1,62.
• ACT-Verteilung: Mittelwert μ = 21, Standardabweichung σ = 5,6.
Schüler B: z = (32 − 21) ÷ 5,6 = +1,96.
Schlussfolgerung: Student B schnitt im Vergleich zu seiner Vergleichsgruppe besser ab (+1,96σ vs. +1,62σ).
Konvertieren von Z-Scores in Perzentile
Sobald Sie einen Z-Score haben, geben Standardnormalverteilungstabellen die kumulative Wahrscheinlichkeit (Perzentilrang) an:
• z = 0,00 → 50. Perzentil (exakter Median/Mittelwert)
• z = +1,00 → 84,1. Perzentil
• z = +1,96 → 97,5. Perzentil
• z = +2,58 → 99,5. Perzentil